مقدمة بحث عن المصفوفات في الرياضيات، وما هي المصفوفة؟، وأنواع المصفوفات، واستخدام المصفوفات، والعمليات على المصفوفات، وخاتمة بحث عن المصفوفات في الرياضيات، نتناول الحديث عنهم بشيء من التفصيل خلال المقال التالي.
مقدمة بحث عن المصفوفات في الرياضيات
المصفوفة Matrix جزء من علم الرياضيات الذي يعتبر من العلوم المتراكمة حيث أنه يعتمد على ما سبق من معلومات، والمصفوفة هي ترتيب الأعداد على هيئة صفوف ويتم تجميع المصفوفات في صناديق مربعة أو مستطيلة، ويطلق صف على الخط الأفقي داخل المصفوفة، ويطلق العمود على الخط العمودي داخلها، كما أن حجمها يتم تعيينه على حسب عدد الصفوف والأعمدة بداخلها، ولها اتصال وثيق بالحياة اليومية من خلال ارتباطها ببعض المجالات المهمة.
ما هي المصفوفة؟
– يمكن القول بأن المصفوفة ما هي إلا مجموعة مستطيلة تحتوي عدد من الأرقام، وليست الأرقام فقط بل من الممكن أن تكون عبارة عن مجموعة مستطيلة من رموز الرياضيات المختلفة الأخرى، وبداخلها يتم تحديد العمليات الرياضية التي تُجرى فيها مثل الجمع أو الطرح أو الضرب، والمصفوفة الأكثر استخدامًا وشيوعًا في علم الرياضيات هي تلك المصفوفة التي تكون خاصة بالرمز س؛ والتي تكون عبارة عن مجموعة مستطيلة من المقاييس.
– كل من تلك المصفوفات يكون عبارة عن عضو في س، ومعنى ذلك أن تلك العناصر التي بداخل المصفوفة تكون إما أرقامًا حقيقية أو أرقامًا معقدة. وتكون الأرقام التي بداخل المصفوفة أو الرموز أو التعبيرات عبارة عن الإدخالات أو يمكن تسميتها بالعناصر، وتُسمى بالخطوط الأفقية للإدخالات داخل المصفوفة باسم الصفوف، وتُسمى أيضًا الخطوط العمودية للإدخالات بالأعمدة وكلًا منهما يكون بداخله العناصر سواء كانت الأرقام أو الرموز.
أنواع المصفوفات
هناك العديد من أنواع المصفوفات وأشكالها التي تستخدم في التطبيقات العلمية المختلفة، وهنا بعض من تلك الأنواع في السطور التالية مع شرح موجز لكل منها:
-مصفوفة مستطيلة
مصفوفة تحتوي على عدد صفوف وأعمدة مختلفة ال تتساوى أبًدا في العدد.
– مصفوفة عمودية
تتكون هذه المصفوفة من عمود واحد فقط، والسبب في تسميتها بهذا هو أن جميع مكوناتها موجودة في عمود واحد.
– المصفوفة المربعة
في المصفوفة المربعة، عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة.
– مصفوفة
تكون هذا النوع من المصفوفات من عنصر واحد فقط، أي إدخال واحد.
– مصفوفة الصفر
نوع من المصفوفات يجب أن تكون جميع الإدخالات فيه مساوية للصفر.
– مصفوفة متماثلة
هي مصفوفة مربعة حقيقية A تكون متماثلة إذا وفقط إذا كانت مساوية لدورتها ومعها الرموز A = AT.
– مصفوفة غير متجانسة
يمثل هذا النوع من المصفوفة مصفوفة مربعة متناظرة مقابل الجانب المقابل إذا وفقط إذا كانت A = AT.
– مصفوفة قطرية
في حالة أن جميع إدخالات مصفوفة الصفر أعلى وأسفل القطر الرئيسي تساوي الصفر ؛ إنها مصفوفة قطرية.
– مصفوفة الخط
تتكون مصفوفة الخط من صف واحد فقط، وسبب تسميتها هو أنها تتكون من سطر واحد فقط.
استخدام المصفوفات
لم يتم استخدام المصفوفات في علوم الرياضيات فقط ومشتقاتها المختلفة بل ساهمت في العديد من المشكلات الأخرى في باقي العلوم المختلفة تماماً عن الرياضيات، والدور الذي تقوم به في الرياضيات واستطاعت أن تنجح به، حيث يمكن استخدامها في تمثيل مضغوط من الأرقام في المجموعة من خلال أحد أنواع المصفوفات المختلفة، كما أنها تدخل في التحاليل الرقمية وتستخدم في الرسم البياني ومعرفة نوعه والأرقام المرتبة داخل الرسم.
العمليات على المصفوفات
1. جمع المصفوفات
في كثير من الأحيان نحتاج إلى عملية جمع مصفوفة مع مصفوفة أخرى، فان هنالك شروطاً يجب توفرها لإنجاز العملية هي أن تكون أبعاد المصفوفة الأولى مساوية لأبعاد المصفوفة الثانية.
2. ضرب المصفوفات
لضرب مصفوفتين فان شرطاً يجب توفره وهو عدد الأعمدة الموجودة في المصفوفة الأولى يجب أن يكون مساوياً لعدد الصفوف الموجودة من المصفوفة الثانية وكما يلي:
حيث أن: A: المصفوفة الأولى، B: المصفوفة الثانية، C: ناتج ضرب المصفوفتين، i: ان عدد الصفوف في المصفوفة الأولى، J: يوجد عدد الأعمدة في المصفوفة الثانية، K: وجد عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى والتي تساوي عداد الصفوف الم وجودة في المصفوفة الثانية، N: إيجاد عدد الصفوف في المصفوفة الأولى، M: عدد الأعمدة في المصفوفة الثانية، W: عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى والتي تساوي عدد الصفوف المصفوفة الثانية
3. قسمة المصفوفات
وأما بالنسبة لقسمة مصفوفتين فتمثل محددة المصفوفات
وهي ناتج عن حاصل ضرب عناصر القطر الصغير مطروحاً منه حاصل ضرب عناصر القطر الأعظم ويرمز لها بالنسبة للمصفوفة A ب | A |. ويمكن حساب محددة مصفوفة ذات الحجم (2 × 2) وكما يلي: أما إذا ا زد حجم المصفوفة عن (2 × 2) فهنالك طرق عديدة لإيجاد محددة المصفوفة[4] وأشهرها طريقة كاوس في الحذف Gaussian elimination وتعتبر هذه الطريقة من أقدم الطرق المستعملة وأكثرها شيوعاً في حل المعادلات الآتية الخطية، وعند الحصول على مصفوفة مثلث علوي أو مصفوفة مثلث سفلي يتم إيجاد قيمة المحددة عن طريق ضرب عناصر القطر، وتعتبر المحددة كمؤشر لبيان كون إن مجموعة المعادلات الخطية هي قابلة للحل متى ما كانت هنالك قيمة للمحددة، فان كانت القيمة صفرا فان هذه المصفوفة ليس لها مقلوب أي لا يوجد حل لهذه المعادلات.
4. طرح المصفوفات
شرط طرح المصفوفات هو نفس شرط الجمع، حيث يشترط أن تكون المصفوفات التي يتم جمعها أو طرحها لها نفس القوة n×m حيث أن: m هي عدد الصفوف، n هي عدد الأعمدة.
5. منقول المصفوفات
منقول المصفوفة أو ما يسمى بمدور المصفوفة ويسمى أيضا المصفوفة المساعدة وهي عبارة عن تبديل الأسطر بالأعمدة، ونرمز له ب AT.
6. معكوس المصفوفات
من الأمور المهمة في جبر المصفوفات إيجاد معكوس المصفوفة، ومن خصائص معكوس المصفوفة أن نتيجة حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يساوي المصفوفة المحايدة (identity matrix).
خاتمة بحث عن المصفوفات في الرياضيات
لقد كلف العلماء جهودهم ليتم التوصل إلى المصفوفات كحل للمعادلات الرياضية الناقصة، التي لم تستطيع أن تأتي بدورها بالشكل الصحيح، ولذلك وجدت المصفوفات كخطوة في المعادلة، حيث ساهمت في إفادة جميع العلماء وبالتالي كافة أفراد المجتمع.
